Echec et maths (04.11.09)

 Bonsoir,

La question était de savoir si l'on pouvait accepter l'idée pascalienne selon laquelle la méthode de démonstration géométrique, pour n'être pas parfaite, n'en donnait pas moins accès à la certitude, dans la mesure où les notions premières (indéfinissables) et les principes premiers (indémontrables) étaient saisis dans la "lumière naturelle" de l'évidence.

La réponse... est non. Pour la bonne et simple raison que des énoncés dont la vérité est apparue "évidente" à plus de 20 siècles de mathématiciens  se sont avérés sans valeur de vérité (c'est-à-dire : ni vrais ni faux). Il va falloir nous résoudre à admettre que les "axiomes" d'un système mathématique, loin d'être "évidemment vrais", sont conventionnellement choisis.

Reprenons le début de l'histoire. Euclide, mathématicien de l'Antiquité, entreprend de construire et d'exposer la synthèse du savoir géométrique de son époque : c'est le projet des "Eléments de Géométrie", ouvrage dont la caractéristique majeur est sa méthode d'exposition systématique. Chaque théorème mathématique est accompagné des définitions qui lui sont liées et de sa démonstration. Euclide prend soin de distinguer les théorèmes (démontrés), les axiomes (non démontrables) et les postulats (dont on admet qu'ils sont démontrables mais dont on ne connaît pas la démonstration).

Or l'un des énoncés qu'Euclide considère comme un axiome (le 5e) va poser problème aux mathématiciens... jusqu'au XIX° siècle ! Bien que ce ne soit pas sa formulation originale, cet "axiome" peut s'énoncer sous une forme devenue classique : "par un point situé hors d'une droite, on peut faire passer une et une seule parallèle à cette droite."

Bien. Pourquoi ce cinquième axiome pose-t-il problème aux mathématiciens ? Parce qu'ils sont persuadés qu'il est possible de le déduire des quatre précédents ; bref, ils considèrent cet énoncé, non comme un axiome, mais comme un postulat. Et ils cherchent donc à en faire un théorème (un bon petit exercice de maniement des concepts...) Et ils vont essayer... pendant 28 siècles !

Jusqu'à ce que plusieurs mathématiciens, de façon indépendante, adoptent auXIX° siècle une nouvelle approche du problème : plutôt que de tenter de démontrer directement "l'axiome", ils le remplacent par un autre axiome qui le contredit (par exemple : par un point situé hors d'une droite, on ne peut faire passer aucune droite parallèle...) : ils développent alors la géométrie sur cette nouvelle axiomatique... en s'attendant à parvenir à des contradictions (ce qui aurait démontré la fausseté du nouvel axiome.) Or, chose curieuse, les géométries ainsi développées (notamment par deux mathématiciens allemand et russe : Riemann et Lobatchevski) aboutissent bien à des théorèmes "bizarres"... mais pas à des contradictions !

Par exemple, dans la géométrie de Riemann, on aboutit à des théorèmes du type :

     a) la somme des angles d'un triangle est supérieure à 180 °

     b) par deux points, il arrive que l'on puisse faire passer une infinité de droites...

Bizarre ? Assurément. Contradictoire ? Non. Et c'est ce que démontrera un autre mathématicien (français, celui-là) : Henri Poincaré. Poincaré démontre que tous les théorèmes auxquels on aboutit dans les géoméries dites "non euclidiennes" ne sont que des traductions  des théorèmes de la géométrie euclidienne dans un autre référentiel ! En d'autres termes : les géométries non euclidiennes ne seront pas plus contardictoires que la géométrie fondée sur l'axiome d'Euclide.

Kezako ? Pour comprendre l'idée de Poincaré, imaginez que vous prenez des diapositives d'un certain nombre de figures géométriques, et que vous les projetez ensuite, non sur votre mur de salle à manger (plane), mais sur un espace sphérique. Il va de soi que toutes, les figures, tous les théorèmes que vous avez pu construire sur votre feuille et que vous avez photographiés vont avoir quelque chose qui leur correspond sur la sphère (on voit mal une figure géométrique "ne pas apparaître"...)

Or si vous projetez l'image d'un triangle sur une sphère, sa somme de ses angles sera-t-elle égale à 180 ° ? (Le cas de la sphère correspond à la géométrie de Riemann ; la surface du dessous (espace hyperbolique) correspond à la géométrie de Lobatchevski)

...Eh non ! La somme des angles d'un triangle, lorsque l'espace est sphérique, est bel et bien supérieure à 180 ° ! (Dansle cas d'un espace hyperbolique, elle sera inférieure à 180°). Alors que sur un espace-plan, elle sera égale à 180°. 

Si vous prenez sur la sphère un point situé hors d'une droite (c'est-à-dire : d'un grand cercle qui a le centre de la sphère comme centre...) combien de "parallèles" pourez-vous faire passer par ce point ? Aucune !

Si vous prenez deux points situés de façon opposée sur la sphère (qui sont donc des antipodes), combien de droites (de grands cercles dont le centre de la sphère est le centre) pourrez-vous faire passer par ces deux points ? Une infinité... ! (Ce sont sous les géodésiques de la sphère...)

Bref : en choisissant des axiomes autres que l'axiome d'Euclide, on n'aboutit pas à des géométries contradictoires, mais à des géométries qui correspondent aux figures et aux rapports entre figures dans des espaces non planes (sphériques, hyperboliques, etc.) En d'autres termes, les axiomes "non euclidiens" ne sont pas faux ; les géométries non euclidiennes ne sont pas fausses : il s'agit simplement d'autres géométries, qui ne sont ni plus "vraies", ni plus "fausses" que la géométrie euclidienne.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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