Evident, mon cher Mathson (04.11.09)

Re-bonjour...

Petit rappel rapide en ce qui concerne la méthode de validation des énoncés en mathématiques : la démonstration.  Que signifie "démontrer" ? Je rappelle encore une fois l'analogie des lego : démontrer un énoncé (comme "(a + b)² = a² + 2 ab + b²), c'est montrer qu'on peut le construire en utilisant uniquement les définitions et en les articulant conformément aux règles de base. Ici par exemple, nous aurons besoin de la définition d'une constante (a, b), du carré, de la multiplication, de l'addition, ainsi que de quelques règles fondamentales de l'arithmétique : outre les lois fondamentales de la logique (principe d'identité (a = a), de non-contradiction...), nous aurons besoin de la règle de commutativité de l'addition ( a +b = b + a)  et de la distributivité de la multiplication (a x ( b + c) = a x c + a x c). Cette démonstration ayant été effectuée en cours, je n'y reviens pas.  En résumé, si vous parvenez à construire "a² + 2 ab + b²" à partir de (a + b)² en utilisant uniquement les définitions et les règles de base, vous aurez démontré cet énoncé ; de même qu'en lego, vous aurez "réussi" un objet lorsque vous aurez pu le construire en utilisant uniquement les pièces de base (les concepts définis) conformément aux règles de base (vous n'avez pas le droit de les faire fondre, mais vous pouvez les faire pivoter).

Démontrer un énoncé mathématique, c'est montrer qu'on peut le construire à partir des axiomes      

Les définitions et les règles de base d'un système mathématique s'appellent : les axiomes, et l'ensemble des axiomes constitue l'axiomatique du système. Un énoncé que l'on a construit à l'aide de ces axiomes ( = qui a été démontré) s'appelle un théorème. Enfin, un énoncé mathématique dont on suppose qu'il est démontrable mais dont on ne possède pas la démonstration s'appelle un postulat. (Encore des définitions à connaître...)

Bien. Mais nous arrivons alors directement à la question angoissante et fondamentale : un axiome est-il vrai ?

Il va de soi qu'il y a un problème. Si un axiome est démontrable, ce n'est plus un axiome, c'est un théorème. Mais s'il n'est pas démontrable, comment affirmer qu'il est vrai ?

Cette (terrible) question a agité les philosophes depuis l'Antiquité. Certes, un énoncé mathématique démontré peut être considéré comme universel (on ne trouvera jamais d'exceptions) et définitif (une démonstration correcte est valable une fois pour toutes). Bref, la validité d'un énoncé mathématique démontré est absolue.

Mais si tout ceci repose sur des énoncés qui ne sont pas vrais... comment parler de "vérité mathématique" ? Car nous savons qu'un raisonnement logique fondé sur des prémisses fausses... conduit à des théorèmes faux ! IL NOUS FAUT DONC ABSOLUMENT SAVOIR si les axiomes peuvent être considérés comme "vrais". Sans quoi les mathématiques se mettraient à ressembler à un pur jeu, fondé sur des règles qui, en elles-mêmes, ne seraient ni vraies ni fausses....

 C'est à cette interrogation que répond le texte de Blaise Pascal (il se trouve ici) que nous avons étudié en cours, issu de l'opuscule "De l'esprit géométrique".

Pour Pascal, une méthode de démonstration absolument parfaite seraient une méthode au sein de laquelle :

     a) tous les termes seraient définis

     b) tous les énoncés seraient démontrés.

C'est une méthode parfaite ; mais justement parce qu'elle est parfaite... elle est absolument impossible à mettre en oeuvre ! (du moins pour l'homme). Concernant le premier point, c'est le paradoxe du dictionnaire : on définit un mot avec d'autres mots, qui eux-mêmes sont définis avec d'autres mots, qui eux-mêmes... Mais dans ce cas, soit on admet que le langage est un système clos, et que le "sens" d'un mot désigne uniquement son rapport à d'autres mots (et non son renvoi à une réalité extérieure au langage). On peut le penser, mais pas quand on est un penseur du XVII° siècle. Ce qui implique que, pour Pascal, il est tout à fait vain à chercher à définir tous les mots : il faudra bien arrêter quelque part la régression qui, sans cela, se poursuivrait à l'infini... (en règle générale, comme vous le savez,  l'infini angoisse beaucoup Pascal).

Même chose pour les démonstrations : on démontre un énoncé à l'aide d'autres énoncés, qui ont eux-mêmes été démontrés, par d'autres énoncés, qui eux-mêmes... Encore une fois, si on veut tout démontrer, il faut entrer dans un mouvement perpétuel, une régression à l'infini... ce qui est impossible.

Par conséquent, la méthode de démonstration parfaite est impossible. Il faut donc en trouver une autre... qui consiste tout simplement à admettre l'existence "d'idées premières" et de "principes premiers", qui seraient respectivement indéfinissables / indémontrables... mais qui seraient pourtant vrais ! C'es tout l'intérêt de l'argument de Pascal : cette méthode, qu'il apelle "géométrique", est certes moins parfaite que la méthode parfaite, puisqu'elle est moins "convaincante". Convaincre, c'est justifier par des arguments rationnels. Or ici, précisément, on admet que certains énoncés (principes) ne pourront plus être justifiés par des arguments rationnels. Mais ces notions et principes restent néanmoins certains... de même que les énoncés que l'on peut en déduire par voie de démonstration. 

 Mais alors, s'ils ne sont plus démontrables par la raison, et que nous les connaissons néanmoins avec certitude comme "vrais", quelle est la faculté qui est en cause ?

La réponse, vous la connaissez : chez Pascal, la faculté qui supplée aux limites de la raison, c'est le coeur. Pour Pascal, les principes premiers, les notions premières, nous apparaissent vrais par la "lumière naturelle", en ce qu'ils nous apparaissent comme évidents. Or un principe évident n'est pas un principe dont la vérité nous est attestée par un raisonnement logique : c'est bien le coeur (nous sommes donc bel et bien dans le registre du sentiment) qui nous certifie que le principe est vrai. Le coeur "sait", pour des raisons qui échappent, précisément, à la raison. C'est le sens (qui n'a donc rien de romantique...) de l'énoncé fameux : "le coeur a ses raisons que la raison ne connaît pas".

Quels sont ces "notions premières" et "principes premiers" qu'on ne peut plus définir ni  démontrer ? On peut prendre comme exemple de principes les lois de la logique : essayez de démontrer qu'une chose ne peut pas à la fois être a et non-a (par exemple : être un nombre et ne pas être un nombre) ; essayez de démontrer le principe d'identité (a = a) : impossible ! Il faut déjà admettre la validité de ces principes pour essayer de les démontrer...

Comme exemple de "notions premières" indéfinissables, je vous suggère un exemple qui n'est pas de Pascal, mais de Freud. Essayez de définir la "conscience". La conscience nous dit Freud, chacun sait ce que c'est... mais comment le définir d'une façon qui permettrait de faire comprendre ce dont il s'agit à un individu qui ne le comprendrait pas ? Pour Pascal, si nous pouvons "entrer" dans le langage, c'est que certains concepts primitifs, certaines "notions premières" se passent de définitions.

La méthode géométrique se définit donc par opposition à une méthode-1 qui ne chercherait pas à définir ou à démontrer quoi que ce soit, et à une méthode-2 qui chercherait à tout définir et à tout démontrer. Pour Pascal, il faut tout définir, sauf les notions premières dont la signification est "évidente" ; il faut tout démontrer, sauf les principes premiers dont la vérité est "évidente".

On voit ici toute la fragilité de l'édifice pascalien (sachant qu'on ne voit pas bien ce que pourrait être un édifice non pascalien qui chercherait tout de même à sauver l'idée de "vérité" des axiomes...) Il repose entièrement sur l'idée "d'évidence" des notions et principes premiers. Si nous parvenons à démontrer que cette "évidence" est contestable... c'est toute la prétention des mathématiques à la "vérité" qui se trouvera remise en cause...

[Suite au prochain épisode]

 

 

 

 

 

 

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